кафедра інформатики та прикладної математики
Реферат на тему
Поняття коливального явища.
Біфуркація. "Жорсткі" і "м'які" режими
Брест-2009
Зміст
Введення
1. Основні поняття
1.1 Поняття про коливання
2. Місце коливальних процесів в науці і техніці
3. Біфуркація
Література
Введення
Загальні закономірності, якими володіють коливальні процеси в системах різної фізичної природи, становлять предмет науки, що отримала назву теорії коливань. Під коливальним явищем прийнято розуміти або те, що пов'язане з фактом усталеного руху в даній системі, або те, що пов'язано з процесом переходу від одного усталеного руху до іншого. Усталений рух характеризується повторюваністю і певною стійкістю. Перехідні процеси характеризуються тим сталим рухом, до якого вони наближаються. Безліч перехідних процесів даного усталеного руху утворює його область тяжіння. Зміна сталих рухів, яка відбувається в результаті зміни якого-небудь фізичного параметра аналізованої системи при його переході через деяке значення, називається біфуркацією. Якщо при цьому зміна усталених рухів відбувається досить швидко, тобто стрибкоподібно, то говорять про "жорсткому" виникненні нового режиму. В іншому випадку виникнення нового режиму називають "м'яким". Коливальні явища, що виникають у так званих нелінійних системах, називаються нелінійними коливаннями. Однак перш ніж визначити, що таке нелінійна система, розглянемо більш загальний клас систем, званих динамічними системами.
1. Основні поняття
1.1 Поняття про коливання
Розглянемо деяку систему, тобто сукупність об'єктів, що взаємодіють між собою і з навколишнім середовищем за деяким законом. Це може бути як механічна система матеріальних точок, абсолютно твердих тіл, пружні і взагалі деформуються тіла і т.п., так і електрична, біологічна і змішана системи. Нехай стан системи в кожен момент часу t описується деяким набором параметрів. Процес зміни параметра, який характеризується багаторазовим почерговим зростанням та убуванням параметра в часі, називається коливальним процесом або просто коливаннями, а відповідний параметр називається коливається величиною. Неможливо встановити чітку межу, яка відокремлює коливальні процеси від неколебательних. Якщо всі або найбільш суттєві параметри системи - коливні величини, то говорять, що система випробовує коливання. Система, здатна при певних умовах здійснювати коливання, називається коливальної системою. Строго кажучи, під це визначення підходить будь-яка система, так як для будь-якої системи можна вибрати такий вплив, при якому вона буде здійснювати коливальний рух. Тому зазвичай використовують вужче визначення: система називається коливальної, якщо вона здатна здійснювати коливання при відсутності зовнішніх впливів (тільки за рахунок спочатку накопиченої енергії).
2. Місце коливальних процесів в науці і техніці
Більшість спостерігаються в природі і техніці процесів є коливальними. До коливальних процесів відносяться найрізноманітніші явища: від ритмів головного мозку і биття серця до коливань зірок, туманностей та інших космічних об'єктів; від коливань атомів або молекул у твердому тілі до кліматичних змін на Землі, від вібрацій звучної струни до землетрусів. Всі акустичні явища і явища, пов'язані з поширенням електромагнітних хвиль, також супроводжуються коливальними процесами.
Дослідження польоту і плавання тварин, створення літаючих і плаваючих апаратів з хитаються робочими органами, вивчення неординарних вихорів має вже більш ніж сторічну історію. Незважаючи на величезну кількість публікацій, ця область залишається маловивченою. Залишаються, як і раніше, слабо вивченими механіка політ і плавання тварин, фізика торнадо і вихровий трубки, динаміка і енергетика спіральних і інших вихрових структур. Сформоване положення в цій області людських знань пов'язано з кількома причинами:
з кризою наукових робіт (теоретичною базою, методами дослідження);
з кризою технічної політики (відсутність стратегії у створенні нової техніки);
з кризою організаційних форм і людських можливостей при створенні екстра складних у науковому і конструкторському відношенні об'єктів.
Ця сторона справи при проведенні робіт у цій області, зазвичай не помічається або ігнорується вченими, конструкторами, бізнесменами, менеджерами та фінансистами. Мені здається, що ігнорування існування самих криз прирікає роботи в цій області на хронічні невдачі, на витрату великих часових, людських, фінансових і матеріальних ресурсів даремно. Сучасний рівень проведення наукових, конструкторських та організаційних робіт у цій галузі є недостатнім для того, щоб довести ці роботи до успіху (сучасний рівень, - це не більше ніж дилетантський підхід при дослідженні в цій області). Тому підняті тут питання повинні бути прийняті до уваги і спонукати людське співтовариство переглянути спільно свої наукові, технічні та організаційні підходи до вирішення проблем у цій галузі. Питання стоїть руба: або ми переглянемо всі ці підходи, або сотні вчених з покоління в покоління будуть ходити по колу, не знаходячи дійсних наукових пояснень і конструкторських рішень адекватних специфіці розроблюваних виробів.
3. Біфуркація
Біфуркація - зміна характеру руху динамічної системи на великому часовому інтервалі при зміні одного або кількох параметрів. Ті значення параметрів, при яких змінюються якісні або топологічні властивості руху, називаються критичними або біфуркаційних значень. Наприклад, при стисненні стрижня відбувається випинання, і один стан рівноваги, втративши стійкість, змінюється новими стійкими станами рівноваги. Основи теорії біфуркації закладені А. Пуанкаре та А.М. Ляпуновим в нач.20 в., Потім ця теорія була розвинена А.А. Андроновим та учнями. В якості прикладу розглянемо рішення, яке описує ідеальний осцилятор Дуффінга: x "+ a * x + b * x * x * x = 0. Для початку побудуємо залежність положення точок рівноваги від a. Зі зміною а від позитивних до негативних значень єдина точка рівноваги розпадається на три. Мовою динаміки: єдиний центр перетворюється на сідлової крапку в центрі координат і два центри на координатній прямій (див. Рисунок1).
Рис.1. Траєкторії осцилятора з нелінійної повертає силою (рівняння Дуффінга) на фазовій площині: а-випадок жорсткої пружини а, b> 0, б-випадок м'якої пружини а> 0, b <0 в-потенціал з двома ямами, a <0, b> 0.
Біфуркація такого типу називається біфуркацією типу вил. Фізичний сенс цього явища зрозумілий з того, що силу - (а * x + b * x * x * x) можна описати за допомогою потенційної енергії. Коли а стає негативним, потенціал з одного ямою замінюється потенціалом з двома ямами. При цьому відбувається якісна зміна динаміки системи, і тому а = 0 є критичним біфуркаційних значенням.
Рис.2. Біфуркаційних діаграма: біфуркація типу вил, що відповідає переходу зі стану з одним стійким становищем рівноваги в стан з двома стійкими рівноважними точками.
Інший приклад біфуркації - поява у фізичних системах граничних циклів. У цьому випадку в міру зміни деякого керуючого параметра пара комплексно-сполучених власних значень s1 = i * w + q, s2 =- i * w + q переходить з лівої частини площині (q <0, стійка спіраль) у праву частину (q> 0, нестійка спіраль) і виникає періодичне рух, зване граничним циклом. Такий тип якісної зміни динаміки системи, показаний на рис.3, називається біфуркацією Хопфа.
Рис.3. Біфуркаційних діаграма: біфуркація Андронова-Хопфа, що відповідає переходу від стійкої спіралі до коливань на граничному циклі.
На малюнку 4 показано біфуркаційні діаграми логістичного відображення:
Рис. 4.
Література
Бутенін Н.В., Неймарк Ю.І. "Введення в теорію нелінійних коливань", М. Фізматліт, 1999р.
Кисельов О.М. "Введення в теорію нелінійних коливань", М. Фізматліт, 1999р.
Чулічков А.І. "Математичні моделі нелінійної динаміки", М. Фізматліт, 1999р.
Численні інтернет-сайти.